где a(x) и b(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассмотрим два метода решения указанных уравнений:
Использование интегрирующего множителя;
Метод вариации постоянной.
Использование интегрирующего множителя
Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:
линейное дифференциальное уравнение в стандартной форме
то интегрирующий множитель определяется формулой:
интегрирующий множитель
Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u(x) преобразует ее в производную произведения y(x)u(x).
Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде:
общее решение линейного дифференциального уравнения
где C − произвольная постоянная.
Метод вариации постоянной
Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения:
однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка
Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C(x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C(x).
Описанный алгоритм называется методом вариации постоянной. Оба метода приводят к одинаковому результату.
Дифференциальное уравнение вида
- Использование интегрирующего множителя;
- Метод вариации постоянной.
Использование интегрирующего множителяЕсли линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:
Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде:
Метод вариации постоянной
Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения:
Описанный алгоритм называется методом вариации постоянной. Оба метода приводят к одинаковому результату.
Полезные ресурсы:
Большая советская энциклопедия http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/103736/%D0%9B%D0%B8%D0%BD%D0%B5%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D0%B5
Сайт самостоятельной студенческой работы http://webmath.exponenta.ru/s/c/function/content/chapter3/section5/paragraph3/theory.html
Источники:
http://www.pm298.ru/
http://www.mathprofi.ru/
http://www.math4you.ru/